机器学习 – 第三周:逻辑回归

分类(Classification)问题

逻辑回归(Logistic Regression)主要是用于分类问题的。分类问题,即对数据集中的数据进行分类,区分出两个或多个类别。

例如,之前提到的邮箱判定是否为垃圾邮件的算法,即一类分类算法:区分一封邮件是垃圾邮件,或是非垃圾邮件。

处理这种问题,其实和线性回归的问题如出一辙:只需判定其属于某个分类的概率——例如某封邮件经过算法计算出为垃圾邮件的概率为 0.9 ,我们则有充分的理由认为这是一封垃圾邮件。

模型表达

继续用 $$h_\theta(x)$$ 来表示我们的假设函数。由于我们计算出的是分类的概率,则由概率论(常识),应有 $$0 \le {{\rm{h}}_\theta }(x) \le 1$$ 。但线性回归函数计算出的 $$\theta^T$$ 并不是在此范围内,我们需要选择一个函数 $$g(z)$$ ,使得 $$ 0 \le h_\theta(x) = g(\theta^T) \le 1 $$ 。

我们取下列的 $$g(z)$$ :

$$g(z) = {1 \over {1 + {e^{ – z}}}}$$

则我们的假设函数 $$h(\theta)$$ 为:

$${h_\theta }(x) = {1 \over {1 + {e^{ – {\theta ^T}x}}}}$$

函数$$g(z)$$单调递增,且$$g(0)=0.5$$、$$0 \le g(z) \le 1$$,函数图形类似积分符号“$$\int$$”,比较适合作为一个分类的假设函数。

此时 $$h_\theta(x)$$ 表示的则是“输入x时,y=1的概率”。用概率论中的条件概率表示,则是$$P(y = 1|x;\theta )$$。

决策边界(Decision boundary)

(啊突然发现真的有点不得不配图了……我还要再坚持一下!)

考虑只有两个参数:$$x_1$$、$$x_2$$的情况。将不同分类的数据集以不同符号标注在平面直角坐标系上;再将预测函数 $$h_\theta$$ 亦画出在同一个坐标系中。此时,预测函数 $$h_\theta$$ 将不同的数据集分开——这就是决策边界。

决策边境亦可以是非线性的——只需在预测函数中加入高次项。

成本函数

$$J(\theta ) = – {1 \over m}[\sum\limits_{i = 1}^m {{y^{(i)}}\log {h_\theta }({x^{(i)}}) + (1 – {y^{(i)}})\log (1 – {h_\theta }({x^{(i)}}))]} $$

总之大概就是以上这坨玩意。

当然,要用梯度下降法求它的最小值,我们需要知道它的偏导数……如下:

$${\partial \over {\partial {\theta _j}}}J(\theta ) = {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})x_j^{(i)}}$$

高级优化算法(Advanced optimization)

还有一些比梯度下降法牛逼得多的算法,例如:

  • Conjugate gradient
  • BFGS
  • L-BFGS

这些算法在 MATLAB 或者 octave 里都有,我们要做的只是传入成本函数和偏导数,然后可以由内置的算法自动计算出最合适的 $$\theta$$ 值。

多类别的逻辑回归算法

在目标数据集有多个分类的情况,我们使用一种“一对多”(one vs all)的方式来计算。原理很简单,例如我们有$$n$$个分类,我们依次挑选其中的1个分类,将剩下的$$n-1$$个分类作为另一个分类来运行逻辑回归算法。

机器学习 – 第二周:多变量线性回归

好吧……我成功的把 coursera 的 Machine Learning 课完完全全的坑掉了…… Courera 都发信告诉我你快去 check 你的 Review questions 啦否则要不及格了!我才发现我已经完完全全的跟不上进度了哭瞎…… 估计我要跟着 ml-007 班才可能上完这门课了 QAQ 留级什么的……

于是这是多变量线性回归的总结。

多变量线性回归,其实亦是线性回归:其区别主要在于,参与回归的变量变多了,也就是要用多个因素来共同预测同一个结果。

模型表达

$${{\rm{h}}_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + {\theta _2}{x_2} + … + {\theta _n}{x_n}$$

——其实有 $$x_0$$ 的,只是它等于1,于是就没有 $$x_0$$ 了。

当然它可以用简洁大气的向量形式表示,如下:

$${{\rm{h}}_\theta }(x) = {\theta ^T}x$$

多变量的梯度下降算法

成本函数

$$J(\theta ) = {1 \over {2m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) – {y^{(i)}})}^2}} $$

成本函数和单变量的并无本质区别,唯需注意:其中的 $$\theta$$ 和 $$x$$ 已经是向量。

梯度下降

梯度下降也并无区别;唯将同步更新的 $$\theta_0$$ 和 $$\theta_1$$ 变成了 $$\theta_0$$ 到 $$\theta_j$$ 而已。

特征缩放(Feature Scaling)

Google 上随便搜了下,没找着合适的中文翻译,暂且叫他特征缩放吧。其主要目的,则是让各个特征——即参与预测的参数,保持在同一个数量级上,以减少迭代的次数。

参与预测的各特征由于种种原因,其大小并不在同一个数量级上;也就是说,特征的单位往往不统一。而这会造成迭代上的问题——有的次要特征无法快速减小,以至于消耗大量的时间;而主要特征有可能无法快速上升从而达到最佳解。

而特征缩放,将所有的特征都限定在 $$ – 1 \le x \le 1$$ 的范围内,使特征都保持在同一个数量级。这样一来,梯度下降算法将会提升其效率,运行得更加快速干净。

一般我们采用如下算法:记特征的平均值为 $$\mu $$ ,而特征的范围(最大值减去最小值)为 $$s$$ ,则将以下的变量代替特征 $$x$$ 参与迭代:

$${{x – \mu } \over s}$$

学习速率(Learning rate, $$\alpha$$)

提到学习速率之前,需要先了解我们是如何处理梯度下降算法中的问题的——即,我们如何知道梯度下降算法是否正在朝我们想要的结果发展?

最简单明了的方式,就是画出迭代次数-成本函数的直角坐标系图。在每次迭代时,该图线持续下降——亦即,Jmin(t)是一个单调递减的函数。

那学习速率 $$\alpha$$ 又会以怎样的方式影响梯度下降算法呢?回到之前我们的梯度下降算法公式:

$$\theta_{j}:=\theta_{j}-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{0},\theta_{1})$$

观察到,每次迭代都将下降$${\partial \over {\partial {\theta _j}}}J({\theta _0},{\theta _1})$$的$$\alpha$$倍。

显然,若是$$\alpha$$取值太小,则每次下降的步幅太小,则效率太低;若$$\alpha$$的取值太大,则将错过最低值而走向离最低值越来越远的道路——穿过最低值后,其导数值可能比上一次迭代更高,于是一次比一次跳跃得更远,也就无法取到最小值了。

选择学习速率$$\alpha$$的方法是凭经验:依次取0.001、0.003、0.01……1、3、10、……如此尝试。在尝试的过程中,可以首先将迭代次数降低;然后试着画出 Jmin-t 的图线;观察图线,然后根据图线调整 $$\alpha$$ 的值。

线性回归中的多次式

之前我们提到的线性回归预测,多是一次项比较多;但某些特征,对结果的影响可能不是一次的——可能是二次、三次甚至更甚。于是,可以用 $$x^2_i$$ 、 $$x^3_i$$ 来代替 $$x_i$$ 参与线性回归。

一般等式

可用下列等式直接求出线性回归时我们所求的 $$\theta$$ 值:

$$\theta = {({X^T}X)^{ – 1}}{X^T}{\rm{y}}$$

适用于样本数量 n 比较小的情况——因为 n 大了会比较慢。

当 $${X^T}X$$ 没有逆矩阵时,可以用 octave 的 pinv 方法求得伪逆——主要是特征太多的情况下会导致这种情况的发生。

机器学习 – 第一周:单变量线性回归

模型表达

单变量线性回归是一种最简单、最典型的监督式学习算法。我们将用于训练的数据称为“数据集”(dataset),则有以下几个定义:

  • $$m$$ 代表训练数据集的大小(即有多少个训练样本);
  • $$x$$ 代表模型的输入(即模型的输入特征数量);
  • $$y$$ 代表模型的输出(即最终预测的结果);
  • 我们用上标 $${^{(i)}}$$代表数据集中的第 i 组数据,如 $${x^{(i)}}$$ 代表数据集中第二个输出;
  • $$h$$ 则是我们用于预测的函数,具体表述如下:
    将学习算法通过训练数据集训练之后得出函数 $$h$$ 中的不确定参数项,此时 $$h$$ 为一确定的函数;
    将任意的输入 $$x$$ 代入 $$h$$ 中,即可得到对应的输出 $$y$$。
    在单变量线性回归中,我们使用的 $${h_\theta}(x)$$$${h_\theta }(x) = {\theta _0} + {\theta _1}x$$

成本函数

线性回归要达到的目标,即将上述 $${h_\theta}(x)$$ 函数中的 $$\theta$$ 求出。如何选择 $$\theta$$ 们就成了要解决的问题。

给出成本函数 $$J({\theta _0},{\theta _1}) = {1 \over {2m}}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})} $$
此函数是线性预测函数 $$h$$ 与实际数据 $$y$$ 的误差的方差值。

则我们的问题就转化为了,如何求成本函数 $$J({\theta _0},{\theta _1})$$ 的最小值。

梯度下降法

选用一种算法,使 $$\theta$$ 从任意位置开始,都能下降到一个局部最小值。

梯度下降法的具体做法是,每次迭代都将 $$\theta$$ 减少一个值,这个值是学习速率 $$\alpha$$ 乘以成本函数 $$J$$ 对 $$\theta_i$$ 的偏导数。具体公式如下:

repeat until convergence {
$$\theta_{j}:=\theta_{j}-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{0},\theta_{1})$$ (for j=0 and j=1)
}

** 值得注意的是,此处的 $$\theta$$ 的更新是同步的,亦即计算$$\theta_2$$时使用的$$\theta_1$$是本次更新前的值。**

由于每次更新变量 $$\theta$$ 都是减去一个和梯度线性相关的值,故此算法将会在迭代的过程中自行调整每次下降的幅度,
从而减小迭代次数。如当初始值很高,函数图像很陡峭时,此时梯度足够大,故下降的速率也足够大,
从而在单次的迭代中下降足够多的幅度。
而当 $$\theta$$ 已经位于最小值附近时,由于函数图像的缓和,梯度下降,故下降速率会自行变小。
这就是梯度下降算法的优越之处。

在单变量线性回归算法中,梯度下降算法中的偏导数部分可以求解如下:

$$${\theta _0}: = {\theta _0} - \alpha {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})} $$$
$$${\theta _1}: = {\theta _1} - \alpha {1 \over m}\sum\limits_{i = 1}^m {({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})} \cdot {x^{(i)}}$$$

机器学习 – 简介

最近在 Coursera 上参加 Andrew Ng 的 Machine Learning 课程,感觉颇为良好, AN 的课讲得很是生动,也比较深入浅出,适合我这种低智商人群学习。

于是,这里是对其中的“Introduction”亦即“介绍”部分,做一个中文版的提纲,以便自己查阅。接下来的学习时间里,我也会整理出相应的提纲资料,一方面是为了自己查询方便(读中文还是比英文舒坦),另一方面也算是给后来者留下一个参考。想要阅读相关的其它文章的话,请点击 ml-006 这个标签。

注意,以下内容均为本人理解(除引用外),本人不对以下信息的准确性负任何责任。转载请参考右边 CC 协议。

定义

A computer program is said to learn from experience E with respect to some task T and some performance measure P, if its performance on T, as measured by P, improves with experience E.
—- Tom Mitchell (1998)

Google 找了一番,没有找到确切的翻译,我就随便翻译一下吧。

所谓机器学习,即能够完成任务 T 的程序,其自行从 E 中学习经验,用 P 来衡量其表现;且在 T 任务上的表现 P 能够由经验 E 来提升。

举个例子:

比如我们平常所用的 GMail 的 SPAM 判定,就是一个典型的机器学习程序:
任务T:判断一封邮件是否为 SPAM
经验E:用户对 SPAM 邮件的标记(“这是垃圾邮件”)
表现P:对垃圾邮件的识别率

模型形态

广为人知的,机器学习分为两种形态,即监督式学习和非监督式学习。两种模型形态的区别主要在于训练数据集。

监督式学习(Supervised learning)

Supervised learning is the machine learning task of inferring a function from labeled training data (via wikipeia).

监督式学习的数据集中的每个点都是“right answers”,即所有的测试数据都是已知的且有着正确的标记。例如预测房价的学习算法,其每个点都是明确已知的:500 ㎡ 的房子卖 $ 100,000 美元。

而监督式学习主要用于回归分析(Regression,即输出是连续的)和数据分类(Classification,输出是离散的)。

非监督式学习(Unsupervised learning)

In machine learning, the problem of unsupervised learning is that of trying to find hidden structure in unlabeled data (via wikipedia).

相对的,非监督式学习即一组没有经过标记的数据——我们只知道这些数据在那里,并不知道这些数据之间的联系、这些数据是什么。例如 Google News 的“相关新闻”聚类:我们只有海量的新闻数据,而并不知道其意味着什么。

非监督式学习主要应用于聚类分析(Cluster analysis)。